​Desafío Decide si el sistema de ecuaciones tiene una​ solución, no tiene​ solución o tiene un​ número infinito de soluciones. Usa​ lápiz y papel. Escribe otro sistema de ecuaciones con la misma cantidad de soluciones que tiene la primera​ ecuación.

Question

15 x plus 65 y
equals
185
negative 12 x minus 52 y
equals
negative 148
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Part 1
​¿Cuántas soluciones hay para el sistema de​ ecuaciones?
Exactamente una solución
Un número infinito de soluciones
Sin solución

Answer 1

Para determinar cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones, vamos a analizar las dos ecuaciones que pusiste:

1. \( 15x + 65y = 185 \)
2. \( -12x - 52y = -148 \)

Primero, simplificaremos ambas ecuaciones.

Ecuación 1:

\[ 15x + 65y = 185 \]

Ecuación 2:

Dividimos toda la ecuación entre -4 para simplificar: \[ -12x - 52y = -148 \Rightarrow 3x + 13y = 37 \]

Ahora tenemos el sistema de ecuaciones:

1. \( 15x + 65y = 185 \)
2. \( 3x + 13y = 37 \)

Paso 1: Revisar la relación entre las ecuaciones

Multiplicamos la segunda ecuación por 5 para ver si es proporcional a la primera: \[ 5(3x + 13y) = 5(37) \Rightarrow 15x + 65y = 185 \]

Notamos que la primera ecuación es igual a la segunda multiplicada por 5. Esto significa que ambas ecuaciones representan la misma línea en el plano.

Conclusión

Dado que las dos ecuaciones son equivalentes, hay un número infinito de soluciones. Esto se debe a que todas las soluciones de la primera ecuación serán también soluciones de la segunda.

Parte 2: Escribir otro sistema de ecuaciones

Podemos crear otro sistema que tenga el mismo número de soluciones (infinito) usando las mismas proporciones. Por ejemplo, multiplicamos ambas ecuaciones por cualquier número distinto de cero:

1. \( 30x + 130y = 370 \) (multiplicamos la primera ecuación por 2)
2. \( 6x + 26y = 74 \) (multiplicamos la segunda ecuación por 2)

Así, el nuevo sistema es:

1. \( 30x + 130y = 370 \)
2. \( 6x + 26y = 74 \)

Ambos sistemas tienen un número infinito de soluciones.