Question

Resuelve para x: ∣x−2∣−∣x+2∣=0

Answer 1

Para resolver la ecuación \( |x - 2| - |x + 2| = 0 \), podemos reorganizarla como \( |x - 2| = |x + 2| \).

Ahora, para resolver esta ecuación, consideraremos los diferentes casos que surgen de los valores absolutos.

1. **Caso 1:** \( x - 2 \geq 0 \) y \( x + 2 \geq 0 \) (es decir, \( x \geq 2 \)):
\[
|x - 2| = x - 2 \quad \text{y} \quad |x + 2| = x + 2
\]
La ecuación se convierte en:
\[
x - 2 = x + 2
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
-2 = 2
\]
Este caso no tiene solución.

2. **Caso 2:** \( x - 2 \geq 0 \) y \( x + 2 < 0 \) (es decir, \( 2 \leq x < -2 \)) - Este caso es imposible porque \( 2 \) no puede ser menor que \(-2\).

3. **Caso 3:** \( x - 2 < 0 \) y \( x + 2 \geq 0 \) (es decir, \(-2 \leq x < 2\)):
\[
|x - 2| = - (x - 2) = -x + 2 \quad \text{y} \quad |x + 2| = x + 2
\]
La ecuación se convierte en:
\[
-x + 2 = x + 2
\]
Resolviendo, sumamos \( x \) a ambos lados:
\[
2 = 2x + 2
\]
Restamos \( 2 \) de ambos lados:
\[
0 = 2x
\]
Entonces:
\[
x = 0
\]
Este valor está dentro del intervalo \([-2, 2)\), así que es una solución válida.

4. **Caso 4:** \( x - 2 < 0 \) y \( x + 2 < 0 \) (es decir, \( x < -2 \)):
\[
|x - 2| = - (x - 2) = -x + 2 \quad \text{y} \quad |x + 2| = - (x + 2) = -x - 2
\]
La ecuación se convierte en:
\[
-x + 2 = -x - 2
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
2 = -2
\]
Este caso no tiene solución.

Finalmente, la única solución válida que encontramos es:

\[
\boxed{0}
\]