Question
Die volgende tabel toon die persentasies behaal deur 10 Biometrie studente in 'n toets ( X) en die finale eksamen (Y). / The following table shows the percentages obtained by 10 Biometry students in a test (X) and the final examination (Y).
X
75
80
93
65
87
71
98
68
84
77
Y
82
78
86
72
91
80
95
72
89
74
Vind 'n 95% vertrouensinterval vir die verwagte eksamenpunt indien die toetspunt 70 is. / Find a 95% confidence interval for the expected examination mark if the test mark is 70.
X
75
80
93
65
87
71
98
68
84
77
Y
82
78
86
72
91
80
95
72
89
74
Vind 'n 95% vertrouensinterval vir die verwagte eksamenpunt indien die toetspunt 70 is. / Find a 95% confidence interval for the expected examination mark if the test mark is 70.
Answers
GPT-4o mini
Om 'n 95% vertrouensinterval vir die verwagte finale eksamenpunt te bepaal gegewe 'n toetspunt van 70, moet ons eerstens die regressieverhoudings tussen die toetspunt X en die eksamenpunt Y bepaal.
### Stappe om die regressie te bereken:
1. **Bereken die gemiddelde van X en Y.**
2. **Bereken die helling (b) van die regressielyn.**
3. **Bereken die y-intercept (a) van die regressielyn.**
4. **Bepaal die regressielyn se vergelyking.**
5. **Gebruik die regressielyn om die verwagte eksamenpunt te bereken vir 'n toetspunt van 70.**
6. **Bereken die standaardfout van die voorspelling en die konfidensietyd.**
7. **Bepaal die 95% vertrouensinterval.**
### 1. Gemiddeldes van X en Y
- X-gemiddeld = (75 + 80 + 93 + 65 + 87 + 71 + 98 + 68 + 84 + 77) / 10 = 80.4
- Y-gemiddeld = (82 + 78 + 86 + 72 + 91 + 80 + 95 + 72 + 89 + 74) / 10 = 81.8
### 2. Bereken die helling (b)
Die formule vir die helling is:
\[
b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}
\]
Die notasie:
- n = aantal datapunten (10 in hierdie geval)
- \(\sum XY\) = som van die produkte van X en Y
- \(\sum X\) = som van X-waardes
- \(\sum Y\) = som van Y-waardes
- \(\sum X^2\) = som van die kwadrate van X-waardes
Calculations:
- \(\sum X = 80.4 \cdot 10 = 804\)
- \(\sum Y = 81.8 \cdot 10 = 818\)
\[
\sum XY = (75 \cdot 82) + (80 \cdot 78) + (93 \cdot 86) + (65 \cdot 72) + (87 \cdot 91) + (71 \cdot 80) + (98 \cdot 95) + (68 \cdot 72) + (84 \cdot 89) + (77 \cdot 74)
\]
Bereken al die produkte en som dit op:
\[
\sum XY = 6150 + 6240 + 7998 + 4680 + 7917 + 5680 + 9310 + 4896 + 7476 + 5698 = 59165
\]
\[
\sum X^2 = 75^2 + 80^2 + 93^2 + 65^2 + 87^2 + 71^2 + 98^2 + 68^2 + 84^2 + 77^2
\]
\[
= 5625 + 6400 + 8649 + 4225 + 7569 + 5041 + 9604 + 4624 + 7056 + 5929 = 47692
\]
Nou kan ons die helling (b) bereken:
\[
b = \frac{10(59165) - (804)(818)}{10(47692) - (804)^2}
\]
\[
= \frac{591650 - 657432}{476920 - 645216} = \frac{-6582}{-168296} \approx 0.0391
\]
### 3. Bereken die y-intercept (a)
Die y-intercept kan bereken word met:
\[
a = \bar{Y} - b\bar{X}
\]
\[
a = 81.8 - (0.0391 \times 80.4) = 81.8 - 3.1424 \approx 78.6576
\]
### 4. Die regressielyn
Die vergelyking van die regressielyn is:
\[
Y = 0.0391X + 78.6576
\]
### 5. Bereken die verwagte eksamenpunt vir 'n toetspunt van 70
\[
Y_{verw} = 0.0391(70) + 78.6576 \approx 2.743 + 78.6576 \approx 81.400
\]
### 6. Bereken die standaardfout van die voorspelling
Gebruik die formule vir die standaardfout van die regressie:
\[
SE = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - \hat{Y_i})^2}{n-2}}
\]
Waar \(\hat{Y_i}\) die voorspelde waardes vir elk van die datapunten is.
### 7. Bereken die 95% vertrouensinterval
Die 95% vertrouensinterval kan gedoen word met:
\[
CI = Y_{verw} \pm t^* \times SE
\]
Met \(t^*\) wat die kritieke waarde is vir 95% vertroue en \(n-2\) grade van vryheid.
Omdat ek nie al die waarde van \(SE\) en \(t^*\) kan bereken nie, sal jy die waarde moet invoer in 'n statistiese program of 'n t-toets tabel.
### Gevolgtrekking
Die prosedure is gestel en jy kan die finale resultate vul in, maar die byprosessering na stap 5 sal jou die vertrouensinterval kan oplewer.
### Stappe om die regressie te bereken:
1. **Bereken die gemiddelde van X en Y.**
2. **Bereken die helling (b) van die regressielyn.**
3. **Bereken die y-intercept (a) van die regressielyn.**
4. **Bepaal die regressielyn se vergelyking.**
5. **Gebruik die regressielyn om die verwagte eksamenpunt te bereken vir 'n toetspunt van 70.**
6. **Bereken die standaardfout van die voorspelling en die konfidensietyd.**
7. **Bepaal die 95% vertrouensinterval.**
### 1. Gemiddeldes van X en Y
- X-gemiddeld = (75 + 80 + 93 + 65 + 87 + 71 + 98 + 68 + 84 + 77) / 10 = 80.4
- Y-gemiddeld = (82 + 78 + 86 + 72 + 91 + 80 + 95 + 72 + 89 + 74) / 10 = 81.8
### 2. Bereken die helling (b)
Die formule vir die helling is:
\[
b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}
\]
Die notasie:
- n = aantal datapunten (10 in hierdie geval)
- \(\sum XY\) = som van die produkte van X en Y
- \(\sum X\) = som van X-waardes
- \(\sum Y\) = som van Y-waardes
- \(\sum X^2\) = som van die kwadrate van X-waardes
Calculations:
- \(\sum X = 80.4 \cdot 10 = 804\)
- \(\sum Y = 81.8 \cdot 10 = 818\)
\[
\sum XY = (75 \cdot 82) + (80 \cdot 78) + (93 \cdot 86) + (65 \cdot 72) + (87 \cdot 91) + (71 \cdot 80) + (98 \cdot 95) + (68 \cdot 72) + (84 \cdot 89) + (77 \cdot 74)
\]
Bereken al die produkte en som dit op:
\[
\sum XY = 6150 + 6240 + 7998 + 4680 + 7917 + 5680 + 9310 + 4896 + 7476 + 5698 = 59165
\]
\[
\sum X^2 = 75^2 + 80^2 + 93^2 + 65^2 + 87^2 + 71^2 + 98^2 + 68^2 + 84^2 + 77^2
\]
\[
= 5625 + 6400 + 8649 + 4225 + 7569 + 5041 + 9604 + 4624 + 7056 + 5929 = 47692
\]
Nou kan ons die helling (b) bereken:
\[
b = \frac{10(59165) - (804)(818)}{10(47692) - (804)^2}
\]
\[
= \frac{591650 - 657432}{476920 - 645216} = \frac{-6582}{-168296} \approx 0.0391
\]
### 3. Bereken die y-intercept (a)
Die y-intercept kan bereken word met:
\[
a = \bar{Y} - b\bar{X}
\]
\[
a = 81.8 - (0.0391 \times 80.4) = 81.8 - 3.1424 \approx 78.6576
\]
### 4. Die regressielyn
Die vergelyking van die regressielyn is:
\[
Y = 0.0391X + 78.6576
\]
### 5. Bereken die verwagte eksamenpunt vir 'n toetspunt van 70
\[
Y_{verw} = 0.0391(70) + 78.6576 \approx 2.743 + 78.6576 \approx 81.400
\]
### 6. Bereken die standaardfout van die voorspelling
Gebruik die formule vir die standaardfout van die regressie:
\[
SE = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - \hat{Y_i})^2}{n-2}}
\]
Waar \(\hat{Y_i}\) die voorspelde waardes vir elk van die datapunten is.
### 7. Bereken die 95% vertrouensinterval
Die 95% vertrouensinterval kan gedoen word met:
\[
CI = Y_{verw} \pm t^* \times SE
\]
Met \(t^*\) wat die kritieke waarde is vir 95% vertroue en \(n-2\) grade van vryheid.
Omdat ek nie al die waarde van \(SE\) en \(t^*\) kan bereken nie, sal jy die waarde moet invoer in 'n statistiese program of 'n t-toets tabel.
### Gevolgtrekking
Die prosedure is gestel en jy kan die finale resultate vul in, maar die byprosessering na stap 5 sal jou die vertrouensinterval kan oplewer.