Question
Vir die volgende tabel./ For the following table.
X
3
5
6
8
9
11
Y
2
3
4
6
5
8
Bereken die korrelasiekoeffisient./ Calculate the correlation coefficient.
X
3
5
6
8
9
11
Y
2
3
4
6
5
8
Bereken die korrelasiekoeffisient./ Calculate the correlation coefficient.
Answers
GPT-4o mini
Om die korrelasiekoeffisient te bereken, gebruik ons die formule vir die Pearson-korrelasiekoeffisient (r):
\[
r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n \sum X^2 - (\sum X)^2][n \sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}
\]
waar:
- \( n \) die aantal datapunten is,
- \( \sum XY \) die som van die produk van elke X en Y waarde is,
- \( \sum X \) die som van die X waardes is,
- \( \sum Y \) die som van die Y waardes is,
- \( \sum X^2 \) die som van die X waardes in kwadraat is,
- \( \sum Y^2 \) die som van die Y waardes in kwadraat is.
Kom ons bereken dit stap vir stap:
### Gegee data:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & Y \\
\hline
3 & 2 \\
5 & 3 \\
6 & 4 \\
8 & 6 \\
9 & 5 \\
11 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]
### Stap 1: Bereken die nodige somme
1. **Aantal datapunten (n)**:
\[
n = 6
\]
2. **Som van X (ΣX)**:
\[
\sum X = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 = 42
\]
3. **Som van Y (ΣY)**:
\[
\sum Y = 2 + 3 + 4 + 6 + 5 + 8 = 28
\]
4. **Som van XY (ΣXY)**:
\[
\sum XY = (3 \times 2) + (5 \times 3) + (6 \times 4) + (8 \times 6) + (9 \times 5) + (11 \times 8)
\]
\[
= 6 + 15 + 24 + 48 + 45 + 88 = 226
\]
5. **Som van X² (ΣX²)**:
\[
\sum X^2 = 3^2 + 5^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 11^2
\]
\[
= 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 121 = 336
\]
6. **Som van Y² (ΣY²)**:
\[
\sum Y^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 5^2 + 8^2
\]
\[
= 4 + 9 + 16 + 36 + 25 + 64 = 154
\]
### Stap 2: Plaas waardes in die formule
Nou kan ons alles in die formule plaas:
\[
r = \frac{6(226) - (42)(28)}{\sqrt{[6(336) - (42)^2][6(154) - (28)^2]}}
\]
### Stap 3: Bereken die teller
\[
= \frac{1356 - 1176}{\sqrt{[2016 - 1764][924 - 784]}}
\]
\[
= \frac{180}{\sqrt{[252][140]}}
\]
### Stap 4: Bereken die noemer
1. **Bereken die produkte in die vierkante hakies**:
\[
252 \times 140 = 35280
\]
\[
\sqrt{35280} \approx 188.04
\]
### Stap 5: Plaas alles in die formule
\[
r = \frac{180}{188.04} \approx 0.9584
\]
### Gevolgtrekking
Die korrelasiekoeffisient \( r \) is ongeveer 0.9584, wat dui op 'n baie sterk positiewe korrelasie tussen die X en Y waardes.
\[
r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n \sum X^2 - (\sum X)^2][n \sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}
\]
waar:
- \( n \) die aantal datapunten is,
- \( \sum XY \) die som van die produk van elke X en Y waarde is,
- \( \sum X \) die som van die X waardes is,
- \( \sum Y \) die som van die Y waardes is,
- \( \sum X^2 \) die som van die X waardes in kwadraat is,
- \( \sum Y^2 \) die som van die Y waardes in kwadraat is.
Kom ons bereken dit stap vir stap:
### Gegee data:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & Y \\
\hline
3 & 2 \\
5 & 3 \\
6 & 4 \\
8 & 6 \\
9 & 5 \\
11 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]
### Stap 1: Bereken die nodige somme
1. **Aantal datapunten (n)**:
\[
n = 6
\]
2. **Som van X (ΣX)**:
\[
\sum X = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 = 42
\]
3. **Som van Y (ΣY)**:
\[
\sum Y = 2 + 3 + 4 + 6 + 5 + 8 = 28
\]
4. **Som van XY (ΣXY)**:
\[
\sum XY = (3 \times 2) + (5 \times 3) + (6 \times 4) + (8 \times 6) + (9 \times 5) + (11 \times 8)
\]
\[
= 6 + 15 + 24 + 48 + 45 + 88 = 226
\]
5. **Som van X² (ΣX²)**:
\[
\sum X^2 = 3^2 + 5^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 11^2
\]
\[
= 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 121 = 336
\]
6. **Som van Y² (ΣY²)**:
\[
\sum Y^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 5^2 + 8^2
\]
\[
= 4 + 9 + 16 + 36 + 25 + 64 = 154
\]
### Stap 2: Plaas waardes in die formule
Nou kan ons alles in die formule plaas:
\[
r = \frac{6(226) - (42)(28)}{\sqrt{[6(336) - (42)^2][6(154) - (28)^2]}}
\]
### Stap 3: Bereken die teller
\[
= \frac{1356 - 1176}{\sqrt{[2016 - 1764][924 - 784]}}
\]
\[
= \frac{180}{\sqrt{[252][140]}}
\]
### Stap 4: Bereken die noemer
1. **Bereken die produkte in die vierkante hakies**:
\[
252 \times 140 = 35280
\]
\[
\sqrt{35280} \approx 188.04
\]
### Stap 5: Plaas alles in die formule
\[
r = \frac{180}{188.04} \approx 0.9584
\]
### Gevolgtrekking
Die korrelasiekoeffisient \( r \) is ongeveer 0.9584, wat dui op 'n baie sterk positiewe korrelasie tussen die X en Y waardes.