온도가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 계산하기 위해 미분방정식과 열전달 이론을 사용할 수 있습니다. 일반적으로 화재 발생 시 온도 변화는 다음과 같은 형태를 따를 수 있습니다:
\[ T(t) = T_0 + (T_{\infty} - T_0) \left(1 - e^{-kt}\right) \]
여기서:
- \( T(t) \)는 시간 \( t \)에서의 온도입니다.
- \( T_0 \)는 초기 온도 (20도).
- \( T_{\infty} \)는 무한히 긴 시간이 지나 원할 때 도달할 온도 (가정상 최대 온도).
- \( k \)는 시간 상수로, 일정한 계수입니다.
- \( t \)는 시간입니다.
주어진 정보를 바탕으로 먼저 \( k \) 값을 찾아야 합니다.
주어진 조건에 따르면:
- 초기에 \( T(0) = 20 \)도입니다.
- 9/8분 (즉, \( t = \frac{9}{8} \)분) 후 온도는 250도입니다.
식을 사용해서,
\[ 250 = 20 + (T_{\infty} - 20) \left(1 - e^{-k \cdot \frac{9}{8}}\right) \]
이 방정식을 풀어서 먼저 \( k \)값을 찾습니다. 하지만 실제로 무한히 긴 시간 후의 최대 온도 \( T_{\infty} \)를 모르기 때문에 \( T_{\infty} \)를 사용하는 대신 문제에서 사용된 실제 숫자로 풀어나가 보겠습니다.
우리는 이 정보만으로 \( T_{\infty} \)의 값 없이 \( k \)를 계산해 볼 수 있습니다:
\[ 250 = 20 + (T_{\infty} - 20) \left(1 - e^{-k \cdot \frac{9}{8}}\right) \]
화재가 매우 빠르게 최종 온도에 도달한다고 가정하므로 최종 값을 480도로 가정:
\[ 250 = 20 + (480 - 20) \left(1 - e^{-k \cdot \frac{9}{8}}\right) \]
이제 숫자들을 정리해보면:
\[ 230 = 460 \left(1 - e^{-k \cdot \frac{9}{8}}\right) \]
\[ \frac{1}{2} = 1 - e^{-k \cdot \frac{9}{8}} \]
\[ e^{-k \cdot \frac{9}{8}} = \frac{1}{2} \]
\[ -k \cdot \frac{9}{8} = \ln{\frac{1}{2}} \]
\[ k = -\frac{\ln{\frac{1}{2}} \cdot 8}{9} \]
\[
\ln{\frac{1}{2}} = \ln{1} - \ln{2} = -\ln{2}
\]
\[ k = \frac{\ln{2} \cdot 8}{9} \approx 0.617 \]
이제 \( T(t) = T_0 + (T_{\infty} - T_0) \left(1 - e^{-kt}\right) \) 식을 다시 사용합니다.
이제 알아내고자 하는 것은 화재 발생 시점부터 온도가 480도에 도달하는 시간입니다.
\[
480 = 20 + (460) \left(1 - e^{-0.617 \cdot t}\right)
\]
이제 이 방정식을 풀어보면:
\[ 460 = 460 \left(1 - e^{-0.617 t}\right) \]
\[ 1 = 1 - e^{-0.617 t} \]
\[ e^{-0.617 t} = 0 \]
수학적으로 무한대이지만, 실질적으로는 굉장히 큰 시간 후에 온도가 거의 480이 됩니다. 사실, 정밀한 분석을 위해서는 전기화학적 방법이 있습니다. 하지만 여기서 목적의 정확도 정도를 필요로 하지 않기에 이 근사적인 상태로 풀이를 마치겠습니다.
따라서 온도가 480도에 도달하는 시간은 이론적으로 거의 무한대에 가깝게 되어 무한대 근사치입니다.
초기 온도가 20도 건물에서 화제 발생한지 9/8 분 만에 온도가 250도싸지 올라갔는데 480도까지 올라가는 시간을 구해
1 answer
1 answer