simplify (cos2Ɵ-1)/sin2Ɵ

Answer 1

Recall your half-angle formula for tan

Answer 2

sin ( 2 θ ) = 2 sin θ ∙ cos θ

cos 2 θ = cos² θ - sin² θ

cos 2 θ = cos² θ - ( 1 - cos² θ )

cos 2 θ = cos² θ - 1 + cos² θ

cos 2 θ = 2 cos² θ - 1

cos 2 θ - 1 = 2 cos² θ - 1 - 1

cos 2 θ - 1 = 2 cos² θ - 2

cos 2 θ - 1 = 2 ( cos² θ - 1)

cos 2 θ - 1 = 2 ( 1 - sin² θ - 1)

cos 2 θ - 1 = - 2 sin² θ

cos 2 θ - 1 = - 2 sin θ ∙ sin θ

( cos 2 θ - 1 ) / sin 2 θ = - 2 sin θ ∙ sin θ / 2 sin θ ∙ cos θ = - sin θ / cos θ = - tan θ

( cos 2 θ - 1 ) / sin 2 θ = - tan θ