Misalkan A dan B adalah himpunan, Buktikan bahwa A ∩ (A'U B) = A ∩ B

Answer 1

Untuk membuktikan persamaan ini, kita akan menggunakan hukum distribusi himpunan.

Pertama, kita dapat mengekspresikan himpunan A'U B sebagai gabungan dari komplement A dengan B, yaitu:
A' U B = (A') U B = (A ∩ A') U (A ∩ B)

Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa A ∩ (A' U B) = A ∩ B dengan menguraikan kedua sisi persamaan ini.

A ∩ (A'U B) = A ∩ [(A ∩ A') U (A ∩ B)] (distribusi)
= [(A ∩ A') U (A ∩ B)] ∩ A (komutatifitas)
= [(A ∩ A') ∩ A] U [(A ∩ B) ∩ A] (distribusi)

Saat menguraikan kedua sisi persamaan ini, kita dapat membagi menjadi dua bagian: bagian pertama yang berhubungan dengan A ∩ A' dan bagian kedua yang berhubungan dengan A ∩ B.

Untuk bagian pertama, A ∩ A' adalah himpunan kosong, karena A dan A' tidak memiliki elemen yang sama. Jadi, [(A ∩ A') ∩ A] = ∅.

Untuk bagian kedua, [(A ∩ B) ∩ A] = A ∩ B, karena himpunan A ∩ B berisi elemen-elemen yang sama dengan himpunan A.

Karena [(A ∩ A') ∩ A] = ∅ dan [(A ∩ B) ∩ A] = A ∩ B, kita dapat menyimpulkan bahwa:
A ∩ (A'U B) = A ∩ B

Dengan demikian, persamaan A ∩ (A'U B) = A ∩ B telah dibuktikan.