Express in the form A+B√C ?

Question

i) (1-√2)(3+2√2)
ii) (√3+2)/(2√3-1)
iii) 1/(√2+1)

Answer 1

i)

( 1 - √2 ) ( 3 + 2 √2 ) = 3 ∙ 1 - 3 ∙ √2 + 2 √2 ∙ 1 - 2 √2 ∙ √2 =

3 - 3 ∙ √2 + 2 √2 - 2 ∙ 2 = 3 - √2 - 4 = - 1 - √2 = - 1 + ( -1 ) √2

ii)

( √3 + 2 ) / ( 2 √3 -1 ) = ( √3 + 2 ) ∙ ( 2 √3 + 1 ) / [ ( 2 √3 - 1 ) ∙ ( 2 √3 +1 ) ] =

( 2 √3 ∙ √3 + 2 √3 ∙ 2 + 1 ∙ √3 + 1 ∙ 2 ) / [ ( 2 √3 )² - 1² ] =

( 2 ∙ 3 + 4 √3 + √3 + 2 ) / ( 4 ∙ 3 - 1 ) = ( 6 + 4 √3 + √3 + 2 ) / ( 12 - 1 ) =

( 8 + 5 √3 ) / 11 = 8 / 11 + 5 / 11 √3

iii)

1 / ( √2 + 1 ) = 1 ∙ ( √2 - 1 ) / [ ( √2 - 1 ) ∙ ( √2 + 1 ) ] = ( √2 - 1 ) / [ ( √2 )² - 1² ] =

( √2 - 1 ) / ( 2 - 1 ) = ( √2 - 1 ) / 1 = √2 - 1 = - 1 + √2 = - 1 + 1 ∙ √2