​Cálculo mental Inspeccionando las​ ecuaciones, ¿qué puedes determinar acerca de​ la(s) solución(es) de este​ sistema?

Question

6 y
equals 12 x plus 36
15 y
equals 45 x plus 60
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Part 1
Escoge la respuesta correcta siguiente.
A.
El sistema tiene exactamente una solución.
B.
El sistema tiene un número infinito de soluciones.
C.
Es un sistema sin solución.

Answer 1

Para analizar el sistema de ecuaciones dado:

1. 6y = 12x + 36
2. 15y = 45x + 60

Primero, simplificamos ambas ecuaciones.

Para la primera ecuación: Dividimos toda la ecuación por 6: \[ y = 2x + 6 \]

Para la segunda ecuación: Dividimos toda la ecuación por 15: \[ y = 3x + 4 \]

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales:

1. \( y = 2x + 6 \)
2. \( y = 3x + 4 \)

Para determinar la relación entre estas dos ecuaciones, observamos que ambas están en la forma \( y = mx + b \):

• En la primera, la pendiente \( m_1 = 2 \) y la intersección \( b_1 = 6 \).
• En la segunda, la pendiente \( m_2 = 3 \) y la intersección \( b_2 = 4 \).

Dado que las pendientes son diferentes (\( m_1 \neq m_2 \)), las dos ecuaciones representan líneas rectas que se cruzan en un solo punto.

Por lo tanto, la conclusión es que el sistema tiene exactamente una solución.

La respuesta correcta es:

A. El sistema tiene exactamente una solución.