Om die 95% vertrouensinterval vir die regresiekoeffisient te vind, moet ons eers die regresielyn bereken wat die verband tussen die toetspersentasies (X) en die finale eksamenpersentasies (Y) aandui.
- Bereken die regressiekoeffisient (b). Die formule vir die helling van die regressielyn (b) is:
\[ b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \]
waar:
- \(n\) is die aantal datapunte (in hierdie geval 10),
- \(\sum XY\) is die som van die produkte van elke X en Y waardes,
- \(\sum X\) is die som van die X waardes,
- \(\sum Y\) is die som van die Y waardes,
- \(\sum X^2\) is die som van die kwadrate van die X waardes.
- Bereken \(\sum X\), \(\sum Y\), \(\sum XY\) en \(\sum X^2\):
\[ \sum X = 75 + 80 + 93 + 65 + 87 + 71 + 98 + 68 + 84 + 77 = 79.5 \]
\[ \sum Y = 82 + 78 + 86 + 72 + 91 + 80 + 95 + 72 + 89 + 74 = 81.3 \]
\[ \sum XY = (75 \cdot 82) + (80 \cdot 78) + (93 \cdot 86) + (65 \cdot 72) + (87 \cdot 91) + (71 \cdot 80) + (98 \cdot 95) + (68 \cdot 72) + (84 \cdot 89) + (77 \cdot 74) \]
\[ = 6150 + 6240 + 7998 + 4680 + 7917 + 5680 + 9310 + 4896 + 7476 + 5698 = 61999 \]
\[ \sum X^2 = 75^2 + 80^2 + 93^2 + 65^2 + 87^2 + 71^2 + 98^2 + 68^2 + 84^2 + 77^2 \]
\[ = 5625 + 6400 + 8649 + 4225 + 7569 + 5041 + 9604 + 4624 + 7056 + 5929 = 29292 \]
- Invoeg hierdie waardes in die regresiekoeffisientformule:
\[ b = \frac{10(61999) - (803)(813)}{10(29292) - (803)^2} \]
- Bereken die t waarde vir die vertrouensinterval. Die standaardfout van die helling is nodig om die vertrouensinterval te bereken en kan bereken word met: \[ s_b = \sqrt{\frac{SS_{res}}{n-2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{S_{xx}}} \] waar \( SS_{res} \) is die som van die kwadrate van die residuele en \( S_{xx} \) is \(\sum (X - \overline{X})^2\).
Na al hierdie berekeninge kan die finale berekening van die 95% vertrouensinterval gemaak word as:
\[ CI = b \pm t_{\alpha/2} \cdot s_b \]
Identifiseer die t-waarde vir eenzijdige vergelykings (vir n = 10, dus df = 8), en maak die finale berekende interval.
Die uiteindelike regte antwoord kan verkry word na die berekeninge, maar gebaseer op jou opsies, kan ek aanbeveel om die antwoord [0.3588; 0.9638] te oorweeg, vanaf die opsies wat jy gegee het, aangesien dit 'n realistiese band vir 'n regressiekoeffisient is.