Ambas frases son correctas, pero hay una pequeña diferencia en su uso. La primera frase, "Me gusta estudiar español y inglés," es adecuada y común. La segunda frase, "Me gusta estudiar español e inglés," usa "e" en lugar de "y," lo cual es correcto porque se utiliza "e" en lugar de "y" cuando la siguiente palabra empieza con un sonido que comienza con "i" o "hi" (como en "inglés"), para facilitar la pronunciación.
Por lo tanto, ambas son correctas, pero la segunda es más precisa desde el punto de vista gramatical.